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DIVERTIMENTOS MATEMÁTICOS

                          

                                                   Una primera lección de econometría

                                         Las cifras de los números e y π

                                                   Un sistema muy sensible

                                         Paradoja de Condorcet

                                         Los principios básicos de la ciencia

                                         Chistes de matemáticas

 

 

Una primera lección de econometría

 Cualquier economista en formación debe percibir enseguida que siempre es de mal gusto expresar la suma

 de dos cantidades en la forma siguiente:

 

En efecto, todo graduado en economía está enterado de que

        

y también de que

 

Es además obvio para cualquier lector que

    

En consecuencia, la igualdad (1) puede ser expresada de manera más científica en la forma siguiente:                                      

  

Es también fácil comprobar  que

     

y puesto que

                                                                  

la ecuación (5) puede ser objeto de una simplificación adicional y formularse así:

             

                Ahora bien, si observamos que        

y recordamos que la inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa, podemos liberarnos de las restricciones del espacio unidimensional mediante la introducción de la matriz regular formada por n vectores   n-dimensionales, X, respecto a la cual

         

Combinando la ecuación (9) con la (10) llegamos al resultado

        

por lo que, sustituyendo en la expresión  (8), reduce nuestra expresión en la forma siguiente:

 

 

Al llegar a este punto debe resultar evidente que la ecuación (12) es mucho más clara y mucho
mas fácil de comprender que la ecuación (1).

 

Pueden usarse otros métodos de naturaleza similar para simplificar (1), pero resultaran obvios una vez que el joven economista entienda los principios fundamentales de la econometría.

 

                                                                           

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Algunas curiosidades sobre las cifras de los números e y π

Hay algunas reglas mnemotécnicas para recordar las primeras cifras decimales del número e (contar las letras de las palabras de la frase siguiente):

Yo estudio y traduzco el holandés (2;71828)

 

En inglés:

He studied a treatise on calculus

 

Son más conocidas las estrofas para recordar las primeras cifras decimales de π .

Como la cifra número 32 de π es un 0, la mayor parte de los versos o poemas terminan antes de esa cifra.

 

Los versos que siguen dan 20 cifras:

Soy y seré a todos definible;
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

 

En inglés :

How I want a drink,
alcoholic of course,
after the heavy lectures
involving quantum mechanics!

 

En latín:(falta el 3 inicial; dedicado a Bailey) da 31 cifras:

 

I nunc, O Baili, Parnassum et dessere rupem;
Dic sacra Pieridum deteriora quadris!
Subsidium hoc ad vos, quamquam leve, fertur ab hymnis
Quos dat vox Sophocli (non in utroque probrumst?)

 

En francés (31 cifras)

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
qui de ton jugement peu priser la valeur?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.

 

 

Un sistema muy sensible.-

 

Un profesor propone a sus alumnos de 2º de bachillerato como tarea para casa que hallen la solución, redondeando el resultado a números enteros, del siguiente sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

 

                                   35,26x + 14,96y = 28,35

                                   187,3x + 79,43y = 83,29

Él ha calculado previamente la solución, que es  x = -770 ,  y = 1816.

Cuando, una vez terminada la clase, se dispone a borrar la pizarra, se da cuenta de que ha cometido un error, escribiendo 14,95 en vez de 14,96. No le da mayor importancia. Piensa: "0,01 en 14,96 es como 1 en 1496, menos de un 1 por mil de error".

Sin embargo, cuando los estudiantes le entregan al día siguiente sus soluciones, no hay ninguna próxima a la suya y, lo que es más raro, los tres alumnos más brillantes en matemáticas, Elsa, Andrés y Mónica, han llegado a una misma e increíble solución:

x = 1776 , y = -4186.

¿Puedes sacarle de su asombro? ¿Habían copiado los tres entre sí de un ejercicio mal resuelto? ¿Qué ha pasado?

 

¿Son significativas las decisiones por mayoría?.- Paradoja de Condorcet

 

Once votantes han de elegir entre tres candidatos A, B y C. Sus preferencias son las siguientes: (el signo > significa "mejor que") 

            4 prefieren A>B>C,   5 prefieren B>C>A ,  2 prefieren C>A>B

Aunque cada votante tiene una preferencia bien definida, el conjunto de preferencias produce una cadena de preferencias que es inconsistente:

A vence a B (6 a 5),  B vence a C (9 a 2)  y  C vence a A (7 a 4)

Esta paradoja pone en tela de juicio las decisiones adoptadas eligiendo por comparación entre más de dos alternativas. 

El voto posibilista.-

La forma de evitar esta situación sería elegir primero entre A y B, y enfrentar después al ganador con C. En este caso A vencería a B y después perdería ante C, que resultaría elegido.

Por posibilismo, uno de los que prefieren A>B>C haría bien en votar en la primera vuelta a B (violando su preferencia A>B), ya que con ese cambio de voto sería B quien pasara a enfrentarse con C y le ganaría. De ese modo, el astuto votante lograría cambiar la elección final, saliendo B en lugar de C (de acuerdo con su preferencia B>C).

Claro que si fuese más astuto todavía, solicitaría votar primero entre B y C. Así sería B quien se enfrentase después con A y vencería finalmente A, su preferido.

¡Salvo que un votante de preferencia B>C>A violase en primera vuelta su convicción y apoyase al C, en cuyo caso resulta elegido al final C.... Como verás no son tan sencillas las cosas como parecen.

 Los últimos serán los primeros.

Cabe pensar que todo ese lío se evitaría si cada votante asignara 2 puntos a su preferido, 1 a su segunda opción y 0 al tercero. En nuestro ejemplo, B sacaría 14 puntos, A 10 puntos y C 9 puntos. El elegido sería B. Lo curioso en este caso es que si en el último momento se hubiera retirado C, estimando que no tenía posibilidades, el ganador sería A. 

Mucho más grave es un ejemplo análogo y realista de P. C. Fishburn en el que un conjunto de votantes con preferencias bien definidas cada uno de ellos ha de elegir, puntuando de mayor a menor, entre siete candidatos: Ana, Beatriz, Carmen, David, Eduardo, Fernando y Gema.

Tras proceder a la votación, el recuento de votos da el siguiente orden:

 1º Ana,   2º Beatriz,   3º Carmen,  4º David,   5º Eduardo,   6º Fernando  y  7º Gema

Pero antes de firmar el acta, un telegrama anuncia el fallecimiento de Gema en accidente. De acuerdo con las reglas de la votación, se procede a tachar su nombre de las papeletas. Hecho el nuevo recuento, el orden resultante es: 

1º Fernando,   2º Eduardo,   3º David,   4º Carmen,   5º Beatriz   y   6º Ana

 ¡Exactamente el orden inverso!   ¿Te atreves a explicarlo?

 

 

LOS PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA CIENCIA   (de un ejemplar de Radikal Al-kilo)

 

     Ley de Murphy: Si algo puede ir mal, seguro que irá mal.

     Teorema de Patrick: Si el experimento funciona, señal de que está usando un aparato equivocado.

     Constante de Shinner: Es aquella cantidad de multiplicada, dividida, sumada o restada del resultado obtenido, nos da el resultado deseado.

     Postulado de los cinco dedos: La experiencia aumenta con el número de aparatos que uno estropea.

     Ley de Fapple (sobre la perversidad de los objetos inanimados): Todo objeto inanimado, prescindiendo de su composición o configuración, se puede esperar que se estropee siempre de una manera totalmente insospechada y por razones que son enteramente oscuras, o mas bien absolutamente misteriosas.

     Regla de Betterin: Cuando algo no funciona, siempre lo hace por una razón diferente de la que uno piensa que no funciona.

     Axioma de Allen: Cuando todo falla hay que leer las instrucciones.

     Corolario de la compensación: Un experimento se puede considerar un éxito si no más de la mitad de las medidas observadas deben ser desechadas para obtener cierta correspondencia con la teoría.

     Ley de Humperson: La probabilidad de que suceda un determinado evento es inversamente proporcional a lo deseable que sea el mismo.

     Regla del material: Los suministros necesarios para el experimento de ayer deben ser pedidos no más tarde de mañana al mediodía.

     Principio de las piezas dispersas: La accesibilidad para recuperar piezas caídas de la mesa varía directamente con su tamaño e inversamente con su importancia para completar el trabajo empezado.

     Factor de futilidad: Ningún experimento es nunca un completo fracaso; puede servir como un contraejemplo.

     Ley de Anderson: Nunca se rompe nada de lo que se tiene recambio.

 

 

 Chistes de matemáticas.-

 - Un matemático es un invento que transforma café en teoremas. (Paul Erdos)

 - Los símbolos algebraicos se usan cuando no sabes de qué estas hablando. (Philippe Schnoebelen)

 - Un topólogo es una persona que no sabe distinguir la diferencia entre la taza de café y el donut.

 - Excusas para no hacer los deberes de matemáticas : 

     Se cómo probarlo, pero este margen es demasiado pequeño.

     Tengo una calculadora solar, pero estaba nublado.

     Metí los deberes en la carpeta y la cerré, pero un perro tetradimensional los cogió y se los comió .

     Juraría que los guarde en una botella de Klein, pero esta mañana no estaban dentro.

     Estuve viendo el partido de fútbol y se me ocurrió intentar demostrar que convergió y claro, no tuve tiempo de hacer los deberes.

 - Un estadístico podría meter su cabeza en un horno y sus pies en hielo, y decir que en promedio se encuentra bien.

 - ¿Qué es un oso polar?

                - Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.

 - ¿Por qué se suicidó el libro de mates?

                - Porque tenía demasiados problemas.

-Dos vectores se encuentran y uno le dice al otro:

            - ¿Tienes un momento?

 - ¿Qué sucede cuando n tiende a infinito?

            - Que infinito se seca.

 - Me di cuenta de que iba a suspender las matemáticas cuando un día el profesor dijo en clase "Sea un épsilon menor que 37", y de repente todo el mundo se echó a reír.

 - Va ex por la calle y se le cruza un integrador, el cual, todo chulo, le dice: "¡A que te integro!" y ex le contesta: "Y a mí qué ..."

 - TEOREMA : todos los números enteros son interesantes.

             DEMOSTRACIÓN: Supongamos que no; por tanto, existe un mínimo número entero no interesante. Este numero es, obviamente interesante, lo cual contradice el hecho de que no es interesante. Por reducción al absurdo, la suposición de que existen números no interesantes es falsa.   

- TEOREMA: Todos los números enteros son iguales.

            DEMOSTRACIÓN: es suficiente demostrar que para todo A y B, A=B, es decir, que para todo N, si max(A,B) <= N, entonces A=B. Procedemos por inducción en N. Si N=1, el resultado es obviamente cierto, porque max(A,B) <= 1 implica que A=B=1. Si el teorema es cierto para N=k, para k+1 tenemos que si A y B son tales que max(A,B) <= k+1, entonces max(A-1,B-1) <= k; como el teorema es cierto para N=k, entonces A-1=B-1, y A=B, luego el teorema también es cierto para N=k+1.

 - Un ingeniero paleolítico había llegado a imaginar un carro, y quería construirlo. Pero no tenía ruedas. Entonces primero construyó un prototipo de rueda cuadrada, y cuando las puso en el carro y lo probó se dio cuenta de que el carro iba dando botes y resultaba incómodo. Empezó a pensar en la forma de resolver el problema, y llego a la conclusión de que la causa eran las esquinas de las ruedas, así que la primera solución que se le ocurrió fue la de eliminar las esquinas, pero no sabía cómo. Así que la siguiente idea fue: "Ya que no sé cómo eliminar las esquinas, al menos podría hacer que su efecto fuese menor". Entonces intentó minimizar el número de esquinas, y el siguiente prototipo de rueda fue triangular.

 - Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aerostato en un prado, y, sin apearse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí:

                - Perdone, buen hombre, ¿dónde nos encontramos?

                    El lugareño se lo piensa un rato y responde:

                - En un globo.

                    Entonces uno de los aeronautas le dice al otro

                - Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota.

                - No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático.

                - Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes?

                - Pues muy sencillo, porque le hemos hecho una pregunta bien sencilla que cualquier persona normal   podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.

 - Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa del paleto.

            - Buenos dias, buen pastor.

            - Buenos dias tenga usted.

            - Solitario oficio, el de pastor, ¿no?

            - Usted es la primera persona que veo en seis días.

            - Estará usted muy aburrido.

            - Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento.

            - Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece?

            - Trato hecho.

            El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos segundos anuncia:

            - 586 ovejas.

            El pastor, admirado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo.

            - Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una oportunidad de revancha?

            - Hombre, naturalmente.

            Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja?

            - Pues venga.

            El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y sentencia:

            - Usted es matemático.

            - ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo. Cualquiera con buen ojo para los números podría haber contado sus ovejas.

            - Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

- El 97.3% de las estadísticas han sido claramente inventadas.

 - Tú que eres matemático, crees en Dios ?

                - Si, salvo isomorfismos.

 - Que es una región compacta ?

                - Aquella que puede ser vigilada por un numero finito de policías miopes.

 - Si usted ha entendido este artículo, no dude en ponerse en contacto conmigo, y gustosamente se lo volveré a explicar hasta que no lo entienda.

 

CÓMO SE PONEN LAS NOTAS

 

     DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA: Se colocan los estudiantes por orden alfabético sobre una gráfica, distribuidos a lo largo de una  gaussiana.

     DEPARTAMENTO DE PSICOLOGÍA: Los estudiantes hacen una mancha en el examen, y el profesor pone la nota de acuerdo con lo primero que le sugiere dicha mancha.

     DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN: Se usa un generador de números aleatorios

     DEPARTAMENTO DE HISTORIA: Cada estudiante recibe la misma nota que el año anterior.

     DEPARTAMENTO DE RELIGIÓN: Dios pone las notas. (Inapelable)

     DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA: Para que queréis notas ?

     DEPARTAMENTO DE DERECHO: Los estudiantes tienen que defender el por qué se merecen un sobresaliente.

     DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS: Las notas son variables aleatorias.

 

MÉTODOS PARA CAZAR UN LEÓN

 

     EL MÉTODO DE LA GEOMETRÍA DE INVERSIÓN: Pon una jaula esférica en mitad de la selva. Enciérrate dentro de ella. Haz un inversión con respecto a la jaula; ahora el exterior está dentro de la jaula, con TODOS los leones.

     EL MÉTODO DE LA TEORÍA DE LA MEDIDA: La selva es un espacio separable, por tanto existe una sucesión de puntos que converge al león. Seguimos estos puntos silenciosamente para acercarnos al león tanto como queramos, con el equipo adecuado, y lo matamos.

     EL MÉTODO TOPOLÓGICO: Observamos que el león tiene por lo menos la conectividad de un toro, por lo tanto lo podemos llevar a un espacio cuatridimensional, y lo manipulamos para hacerle un nudo cuando lo devolvamos al espacio tridimensional. Estará indefenso.

     EL MÉTODO TERMODINÁMICO: Construimos una membrana semipermeable, permeable a todo excepto a los leones, y la paseamos por la selva.

     EL MÉTODO DE SCHRODINGER: En todo momento existe una probabilidad de que el león esté dentro de la jaula. Ciérrala y siéntate a esperar.

 

LA TESIS DOCTORAL

 Un conejo estaba sentado delante de una cueva, escribiendo, cuando aparece un zorro.

- Hola, conejo, ¿qué haces ?

- Estoy escribiendo una tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros.

- Ja, ja, pero ¿qué dices ?

- ¿No te lo crees? Anda, ven conmigo dentro de la cueva...

Los dos entran, y al cabo de un ratito sale el conejo con la calavera del zorro y se pone a escribir. Al rato llega un lobo.

- Hola, conejo, ¿qué haces?

- Estoy escribiendo mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros y lobos.

- Ja, ja, qué bueno, ¡qué chiste más divertido!

- ¿Qué? ¿no te lo crees? ¡Anda, ven dentro de la cueva, que te voy a enseñar algo!

Al cabo de un rato sale el conejo con una calavera de lobo, y empieza otra vez a escribir. Después llega un oso.

- Hola, conejo, ¿que haces ?

- Estoy acabando de escribir mi tesis doctoral sobre cómo los conejos comen zorros, lobos y osos.

- No te lo crees ni tú.

- Bueno, ¿a que no te metes en la cueva conmigo?

De nuevo se meten los dos en la cueva, y como era de esperar, un león enorme se tira encima del oso y se lo come. El conejo recoge la calavera

del oso, sale fuera y acaba su tesis.

Moraleja: Lo importante no es el contenido de tu tesis, sino escoger bien a tu director.

  

CÓMO LO HACEN LOS MATEMÁTICOS

 (Difundido por Librería Pons)

 

     Los de Análisis Real lo hacen continuamente y diferencian bastante.

     Los de Análisis Complejo lo hacen enteramente y quedan conformes.

     Los de Topología Conjuntista lo hacen abiertamente pero con tacto.

     Los de Combinatoria lo hacen discretamente.

     Los Estadísticos lo hacen aleatoriamente.

     Los Lógicos lo hacen de modo consistente.

     Los de Topología Diferencial lo hacen muuuuy suavemente.

     Los de Geometría Diferencial lo hacen con mucha variedad.

     Los de Análisis Numérico lo hacen con precisión arbitraria.

     Los de Teoría de la Medida lo hacen casi por doquier.

     Los de Teoría de Números no lo hacen y son primos.

     Los de Teoría de Grupos lo hacen simplemente.

     Los de Recursión no se deciden.

     Los Constructivistas lo hacen directamente.

     Los de Matemática Aplicada usan un ordenador para que lo haga por ellos.

     Los Algebristas, categóricamente lo hacen.

     Los de Álgebra Lineal lo hacen sin discriminar.

     Los de Investigación Operativa maximizan las entradas y minimizan las salidas.

      Pitágoras lo hizo primero.

     Fermat lo hizo, pero no pudo probarlo.

     Gauss lo hizo mejor que nadie.

  

 

­¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas?

-No hijo, no estaría bien.

-Bueno, inténtalo de todas formas.

  

¿Qué hace un matemático si le cuesta 25 pesetas mandar una carta y sólo tiene sellos de 35 y 10 pesetas?

-Pone un sello de 35 y 10 pesetas separados por un signo "menos".

 

 ¿Cómo comprobar experimentalmente que 2+2=5?

-Consigue dos cuerdas, y haz en cada una de ellas dos nudos. Ahora átalas juntas. ¿Cuántos nudos tiene el resultado?

  

Durante una clase de matemáticas: "...el caso complejo es el más sencillo, porque..."

  

Las bacterias se multiplican dividiéndose.

  

Está comprobado mas allá de toda duda que el fumar es la causa principal de las estadísticas.

  

Los agujeros negros son esos puntos donde Dios se ha equivocado y ha dividido por cero.

  

El descendiente de Constantino I el Grande 

Se cuenta que un presuntuoso iba diciéndole a todo el mundo que era descendiente directo de Constantino I el Grande. Hasta que un día se lo contó a un matemático. Éste, después de escuchar atentamente las historias del supuesto descendiente del gran emperador, le dijo:

 "Usted tiene dos padres, y cada uno de ellos, otros dos, y así sucesivamente. Teniendo en cuenta que nos separan unas sesenta generaciones de su ilustrísimo pariente, resulta que usted ha tenido, desde entonces, más de dos trillones de antepasados. Uno de ellos es Constantino el Grande. Me parece a mí que poco le toca de tan importante señor".

 

                                                                                                                        

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