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Números primos

Números gemelos
Números perfectos Números poligonales
Números abundantes El número áureo
Números deficientes

El número e

Números amigos El número π
Números sociables Una relación mágica

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Números primos

Los números primos son aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Existen dos clases especiales de números primos, que son:

Números de Fermat: son de la forma 22k+1, Fermat conjeturó que todos eran primos y de hecho {3,5,17,257,65.537} , los cinco primeros lo son pero desde el 6º hasta el 17º no lo son, ni muchos otros posteriores. Se ignora si hay más primos en esta serie.

Números de Mersenne: son de la forma 2k-1 y aparecen al estudiar los números perfectos (iguales a la suma de sus divisores propios). Sólo pueden ser primos si k lo es. Se conocen gracias al ordenador un buen número de ellos. Los mayores primos conocidos son de esta forma, por ejemplo a 28 de Enero de 1998 el mayor conocido era 23.021.377-1 , ¡un primo con 909.526 dígitos nada menos!

 

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Números perfectos

Son números perfectos los que son iguales a la suma de sus divisores, excepto él mismo.

El más pequeño es el 6:     6 = 1 + 2 + 3

El siguiente es el 28:         28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Después del 28, no aparece ningún número perfecto hasta el 496, el cuarto número perfecto es el 8.128, el quinto perfecto es 33.550.336. Se observa que cada número perfecto es mucho mayor que el anterior.

            Euclides descubrió la fórmula para obtener números perfectos:

eucli2.gif

  El último número perfecto conocido (el 39º) aparece cuando n = 13.466.917 y tiene 4.053.496 de cifras.

Fue descubierto el 14 de Noviembre de 2001 por Michael Cameron de Canadá.

Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos: 6, 28, 496, 8128

En el libro IX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos.

 

"Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto"

En lenguaje actual:

"Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".

Si (1+2+22+...+2n) es primo, entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto.

Otra vez Euler:

Demuestra el recíproco del teorema de Euclides sobre números perfectos.

Desde entonces se conoce como Teorema de Euclides-Euler                                                      Si N es un número perfecto y par, entonces N = 2 k-1 (2 k-1), donde 2 k-1 es un número primo

Pero en este teorema hay una palabra que deja la historia abierta a futuras generaciones de matemáticos: PAR.

Hasta ahora todos los números perfectos encontrados son pares. Pero

¿existe algún número perfecto impar?

Aquel que encuentre el primero, o que por el contrario, demuestre que no hay ninguno, inscribirá su nombre, con letras de oro, como Andrew Wiles, en el maravilloso libro de la Historia de las Matemáticas.

 

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Números abundantes

Un número abundante es un número natural que es menor que la suma de sus divisores propios.

Todos los múltiplos propios de números perfectos y abundantes son abundantes. Así, los primeros números abundantes son:  12, 18, 24 y 30. El primer número abundante impar es 945.

Todos los múltiplos de 6 y los múltiplos impares de 945 son abundantes, y se ha demostrado que todo entero mayor que 20161 es suma de dos números abundantes.

 

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Números deficientes, o defectivos

Un número defectivo o deficiente es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores propios.

Todos los números primos son defectivos, y también lo son las potencias de los números primos y los divisores propios de los números defectivos y perfectos.

Es fácil ver que existen infinitos números defectivos, ya que existen infinitos números primos, y éstos son sólo algunos de los números defectivos.

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Números amigos

Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

· los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284

· los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos:

                                                      si               p = 3 × 2n-1 - 1,

                                                            q = 3 × 2n - 1,

                                                             r = 9 × 22n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces

                            2npq   y    2nr     son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).

El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.

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Números sociables

El concepto de número sociable es la generalización de los conceptos de números amigos y números perfectos. Un conjunto de números sociables es una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir, los términos se repiten.

El periodo de esta sucesión, o el orden del conjunto de números sociables, es el número de términos de la sucesión que hay en el ciclo.

Si el periodo de la sucesión es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto. Por ejemplo, 6 tiene por factores propios los números 1, 2 y 3, que a su vez suman 6.

Un par de números amigos es un conjunto de números sociables de orden 2. No se conocen, por el momento, números sociables de orden 3.

 

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Números gemelos

Se llaman números primos gemelos a los pares de números primos que son impares consecutivos (3 y 5, 11 y 13, …). Se supone que el número de primos gemelos es infinito, pero está sin demostrar.

 

Se puede observar que los números primos se van distanciando, es más, se puede demostrar que existen dos números primos consecutivos cuya diferencia sea tan grande como queramos.

Para demostrarlo llamamos N al número  N = 1·2·3·4· … ·100·(100+1)

Es claro que N + 2 es múltiplo de 2 por serlo N y de 2.

N + 3 es múltiplo de 3 (por la misma razón)

N + 4 es múltiplo de 4

………………………..

N + 100 es múltiplo de 100

N + 101 es múltiplo de 101

Ninguno de estos 100 números consecutivos es primo, y así, si  p es el primo inmediatamente anterior a N + 2 y q el primo inmediatamente posterior a N + 101, es claro que su diferencia es mayor que 100.

La misma demostración habría servido sustituyendo 100 por 1000000    o   1050 ….

 

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Números poligonales

Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos de los pitagóricos, triángulos y cuadrados.

Así tres puntos formarán un triángulo. Si a estos tres puntos les añadimos otros tres seguimos teniendo un triángulo, y lo mismo ocurre si a éste le añadimos cuatro puntos.
Es decir los números 1, 3, 6, 10, 15... son números triangulares.
De forma mucho más clara con los números 4, 9, 16, 25... podemos formar cuadrados. Junto al 1 constituyen los números cuadrados

 

 

 

 

 

 

 

 

NÚMEROS POLIGONALES

TIPO

ORDEN

1

2

3

4

5

TRIANGULARES

1

3

6

10

15

CUADRADOS

1

4

9

16

25

PENTAGONALES

1

5

12

22

35

HEXAGONALES

1

6

15

28

45

Siguiendo con esta visión geométrica, es inmediato descubrir los números pentagonales: 1, 5, 12, 22... O los hexagonales: 1, 6, 15, 28...
En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es r. Siendo r el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades, es decir, r = 1 para números triangulares, r = 2 para cuadrados, r = 3 para los pentagonales...
Lo que viene a demostrar, que sin ningún apoyo algebraico, y utilizando exclusivamente modelos geométricos, los pitagóricos dominaban los métodos para sumar progresiones aritméticas simples del tipo ; y seguramente del tipo
Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales y poligonales.
Algunos evidentes, al fin y al cabo eso es lo que significa la palabra griega "teorema", lo que se contempla, lo que se ve; aunque nada simples si los miramos con ojos exclusivamente aritméticos

 

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El número áureo

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

 Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

 

 

 

 Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale base.gifpor lo que la proporción entre los dos lados es: fibo_au3.gif

 

aureo1.gif

  

 

 

aureo2.gif

 A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.

 En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia        que tiene por centro el ombligo, es el número de oro. (imagen de la portada).

 Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura siguiente,  se forma otro rectángulo áureo más grande.

 

 

aureo3.gif

 

 

 

Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.).

 Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus                 producciones artistas del Renacimiento. En España, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El   Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.

           

Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.

 

partenon.gif

 

 

 

 

 

 

venus.gif

El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas.

 

También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

Letra del N.I.F.

 

¿Cómo lo descubrieron?

Con toda seguridad fue al intentar resolver el problema de dividir un segmento en dos partes de tal manera que el cociente entre la parte mayor y la menor coincida con el cociente entre la longitud total y la parte mayor.

Euclides. Elementos VI.3

" Un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como ésta a la menor "

Desde los griegos hasta nuestro días el número áureo ha sido el patrón de armonía y un símbolo de perfección en todas las Artes: escultura, pintura, arquitectura... y hasta en los objetos más cotidianos, desde una tarjeta de crédito hasta un paquete de tabaco tienen la proporción áurea.

Pero además de su omnipresencia en las creaciones humanas y en la Naturaleza, la divina proporción nos guarda muchas más sorpresas, en concreto es maravillosa su relación estrecha con el número 1.

                                                     

                                                     

 

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El número e

¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...?

Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico.

Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

2,71828182845.........

Es la base de los logaritmos naturales que aparecen en nuestras calculadoras, es el número de Euler. A él le debemos su nombre y su definición precisa:

 

Nos sorprenderá su presencia en las situaciones más dispares.

Es el número del crecimiento continuo

 

Del crecimiento logístico:

 

De las dataciones con carbono 14

 

 

Y nos sorprenderán también sus extrañas relaciones con los números naturales:

(puedes ver más "cosas" del número e en la página de curiosidades)

 

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El número π

El más popular entre los inconmensurables. ¿Quién no conoce a p ?

Este número extiende sus dominios por el mundo de las formas y los cuerpos redondos. Si queremos calcular la longitud, el área o el volumen de objetos redondos no nos quedará más remedio que recurrir a p

 

   

Sin embargo, como e, es una caja de sorpresas con increíbles, para nosotros y para muchos matemáticos notables cuando las descubrieron, relaciones con los números naturales:

 

(puedes ver más "cosas" del número e en la página de curiosidades)

 

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Una relación mágica

Y terminamos con una relación mágica, entre los cinco números más importantes (con perdón del numero áureo) que son:  0, 1, e , π , y la unidad imaginaria  i .

 

                                

                               

 

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