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Solución 1

                                  

                                        24 = 33 – 3

 

                                        24 = 22 + 2

 

 

 

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Solución 2

 

Los únicos números cuyo cuadrado termina con la misma cifra son los acabados en 0, en 1, en 5 y en 6.

            Por tanto E sólo puede ser 1, 5 o 6 ya que no puede ser 0 porque el cuadrado de un número terminado en 0 acaba en 00.

 

Si E = 1 , H sólo puede ser 2 y 3, ya que el cuadrado de 41 tiene 4 cifras.

            212 = 441 ( 4 ¹ 2 )     312 = 961  ( 6 ¹ 3 )    , luego  E ¹ 1

 

Si E = 5 , H sólo pude valer 1 o 2  ( 352 tiene cuatro cifras )

            152 = 225  ( 2 ¹ 1 )    252 = 625  (  2 = 2 )  

Luego la solución es:

                                        E = 5 ,  H = 2 ,  S = 6        

 

E no puede ser  6 ya que 162 =  256    y  262 = 676

 

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Solución 3

        Hay una forma muy sencilla de cuadrados mágicos. Observa como se construye el de orden 3:

        Colocamos los números del 1 al  9 de la siguiente manera:                                      

1
4 2
7 5 3
8 6
9

                        Ahora observa:

4   2
  5  
8   6

                    

    Hemos marcado una tabla de 3x3 en el centro del grupo de números, el 4, el 2, el 5, el 8 y el 6 ya están colocados. Cada número que queda fuera  lo colocamos en el primer cuadro libre de su fila o columna empezando por el lado contrario, es decir,

4 9 2
3 5 7
8 1 6

                                Puedes comprobar que se trata de un cuadrado mágico. (la suma es 15)

    Para hacer uno de orden 5, 

1
6 2
11 7 3
16 12 8 4
21 17 13 9 5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25

 

11   7   3
  12   8  
17   13   9
  18   14  
23   19   15

                                                                          

1
6 2
11   7   3
4 12   8 16
17 5 13 21 9
10 18   14 22
23   19   15
24 20
25

 

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15

                          Ya está. La suma es 65.

              Intenta construir uno de orden 7.

            Este método sólo sirve para los cuadrados de orden impar.

 

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Solución 4

Al multiplicar un número por 9 el resultado es múltiplo de 9 y, por tanto, la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.

            Luego la cifra que has borrado será lo que le falte a tu suma para ser 9 o múltiplo de 9. Si la suma es múltiplo de 9 es porque has borrado un 9 ( por eso se excluye la posibilidad de que borres un cero que no se podría distinguir de borrar un nueve )

 

 

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Solución 5

El resultado de 15! que nos da el ordenador es  1307a7436b00  siendo a  y  b las cifras borrosas.

Como 15! = 15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1, éste será múltiplo de 9 y de 11.

Por ser múltiplo de 9, la suma de sus cifras será 9 o múltiplo de 9, es decir;

31 + a + b  será 9 o múltiplo 9, por lo tanto:

a) a + b  = 5   o   b)  a + b  = 14

 

Por ser múltiplo de 11, la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar debe ser múltiplo de 11 ( incluido el 0 y los múltiplos de 11 negativos)

Por lo tanto, b + 3 + 7 + 7 + 3 – ( 6 + 4 + a + 1 ) =  ba + 9 será múltiplo de 11, luego   

c)  ba = 2   o    d) ba = -9

 

Resolviendo los sistemas    a) y c)  ,   a) y d) ,  b) y c) , b) y d) vemos que sólo el tercero tiene solución:

                                    a + b  = 14

                                    ba  =  2

 

cuya solución es  a = 6 ,   b = 8 

 

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Solución 6

                        365 = (x-1)2 + x2 + (x+1)2   ,  operando:

 

                        365 = 3x2 + 2  à   363 =  3x2  à    x =  11

 

                       Luego los números son   10 ,  11  y  12

 

                  Además   365 = 169 + 196 = 132 + 142

 

 

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Solución 7

                        Sea  x  el valor de la carta:

 

                        x à  2x  à  2x + 1   à   10x + 5   à    10x + 5 + 4  = 10x + 9  (oros)

à        10x + 5 + 3  = 10x + 8  (copas)

à        10x + 5 + 2  = 10x + 7  (espadas)

à        10x + 5 + 1  = 10x + 6  (bastos)

 

Si ha resultado  39, como 39 = 3·10 + 9  , se trata del  3 de oros.

 Si hubiese dado 87, sería la sota de espadas y si da 106 se trata del rey de

bastos.

 

 

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Solución 8

                        Sean:

                                  x = nº de sacos que lleva el mulo.

                                  y = nº de sacos que lleva el caballo.

 

                                                x + 1 =  2(y-1)

                                                y + 1 =  x – 1

                        Resolviendo el sistema,   x = 7  y = 5

                  Luego el mulo lleva 7sacos y el caballo 5.

 

 

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Solución 9

Sea  t1 el tiempo que tarda Luis en llegar abajo y  t2  el que tarda Antonio.

Sea  v1 la velocidad de Luis  y  v2 la velocidad de Antonio.

v1 = 27/t1    v2 = 18/t2  (la velocidad viene dada en escalones/u.de tiempo)

Como v1 = 2v2  tenemos que  27t2 = 36t1 , es decir,  t2 = (4/3)t1

Por otra parte, en el tiempo t1  se “escondenn - 27 escalones de la  escalera  y en t2 ,  n – 18 .

La velocidad de la escalera  v = (n-27)/t1  =  (n-18)/t2

Por tanto, (n-27)t2 = (n-18)t1  à (n-27)(4/3)t1 = (n-18)t1

Dividiendo por t1  ambos miembros de la igualdad  à 4(n-27) = 3(n-18)

Y resolviendo esta última ecuación se tiene que n = 54,

 

Luego la escalera mecánica tiene 54 escalones.

 

 

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Solución 10

                Las dos cantidades son iguales, ya que después de la operación el volumen de los dos vasos es el mismo y la cantidad de vino que hay en el vaso de agua ocupará un cierto volumen que antes era ocupado por agua. Esta agua estará en el vaso del vino ocupando el mismo volumen.

 

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Solución 11

Como b = a + 1

                        a2 + (a+1)2 + (a(a+1))2 = a2 + a2 + 2a + 1 + a2(a2 + 2a +1) =

                        = a4 + 2a3 + 2a2 + 2a +1 = (a2 + a + 1)2 , que, efectivamente, es un

                        cuadrado perfecto.

 

                        Como a2 + a + 1 = a(a+1) +1   a2 + b2 + (ab)2 =  (ab+1)2

 

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Solución 12

                        Sea x la distancia desde el punto de partida a la cima.

El tiempo que tardaría en subir a la cima y regresar a una velocidad media de 7 km/h 

 sería t = 2x/7.

Este tiempo debe ser igual al de subida ( a 4 km/h) más el de bajada ( a y km/h ).

Por lo tanto,  2x/7 = x/4 + x/y à 2/7 = 1/4+ 1/y

Resolviendo la ecuación  à  y = 28

Debería descender a una velocidad de 28 km/h.

 

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Solución 13

Deberemos abrir el contenedor que tiene la etiqueta “Lavadoras y televisores”:

-         Si en el mismo vemos una lavadora, a este contenedor la pondríamos la etiqueta “Lavadoras”, al que lleva la etiqueta “Lavadoras” le pondríamos “Televisores” y al que lleva “Televisores” le pondríamos “Lavadoras y televisores”.

-         Si vemos un televisor, a este contenedor la pondríamos la etiqueta “Televisores”, al que lleva la etiqueta “Televisores” le pondríamos “Lavadoras” y al que lleva “Lavadoras” le pondríamos “Lavadoras y televisores”.

 

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Solución 14

Si al sexto amigo le entregó todas las pegatinas que le quedaban, quiere decir que le entregó 2, porque 2 es igual a la mitad de 2 más 1.

Al quinto amigo le entregó x/2 + 1 , siendo x las pegatinas que le quedaban cuando se encontró con él.

x – (x/2 + 1) debe ser igual a 2, luego x = 6 y le entregó 4 pegatinas.

Es fácil comprobar que si a = número de pegatinas que le entrega a un amigo, al anterior le habrá entregado 2a:

Si a un amigo le entrega a pegatinas es porque tenía 2(a-1). Si y es el número de pegatinas que tenía al encontrarse con el anterior amigo

y = (y/2 + 1) + 2(a-1)  à y/2 + 1 = 2a, es decir, a cada amigo le entrega el doble de pegatinas que al siguiente.

Por lo tanto, al primer amigo le habrá entregado 64 pegatinas (2, 4, 8, 16, 32, 64)

Al principio tenía 2(64-1) = 126 pegatinas.

 

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Solución 15

La mosca habrá recorrido 90 Kms.

Veámoslo,

            Sea t el tiempo que tardan los ciclistas en encontrarse.

Juan habrá recorrido 30t kms. y Pedro 20t . En total 50t , que deberá ser igual a 75 Kms.

es decir, t = 1,5 horas.

Luego la mosca habrá estado volando durante una hora y media a 60 Km/h, por tanto habrá recorrido en total  90 Kms.

 

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